Morneau-Guérin, Frédéric (2026). Benoît B. Mandelbrot et les fractales. Dans Baillargeon, Normand et Morneau-Guérin, Frédéric (dir.), Martin Gardner: Le polymathe qui a réconcilié jeu et connaissance (p. 241-249). Québec, Canada : Somme Toute.
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- Martin Gardner_26-03-30-v2-241-249.pdf
Contenu du fichier : Document de travail Licence : Creative Commons CC BY-NC-ND. |
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| Catégorie de document : | Chapitres de livres |
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| Évaluation par un comité de lecture : | Oui |
| Étape de publication : | Publié |
| Résumé : | Dans sa chronique Mathematical Games de mars 1967, Martin Gardner propose une réflexion sur la façon dont sont produites les définitions mathématiques. Gardner nous fait voir que celles-ci – loin de se présenter à nous comme une vérité révélée – sont, le plus souvent, le fruit d’un long processus d’essai-erreur impliquant le plus souvent de nombreuses reformulations de plus en plus éclairées : Les objets reçoivent un nom x et sont définis de manière approximative, conformément à l’intuition et à l’usage. Puis quelqu’un découvre un objet exceptionnel qui répond à la définition, mais qui n’est manifestement pas ce que tout le monde a à l’esprit lorsqu’il appelle un objet x. Une nouvelle définition, plus précise, est alors proposée, qui inclut l’objet exceptionnel ou l’exclut. La nouvelle définition « fonctionne » tant qu’aucune nouvelle exception ne survient. Si c’est le cas, la définition doit être révisée à nouveau, et le processus peut se poursuivre indéfiniment. Si les exceptions vont fortement à l’encontre de l’intuition, on les appelle parfois des monstres. L’adjectif « pathologique » leur est souvent accolé. (traduction libre) Pour illustrer ce processus, Gardner prend l’exemple du concept de courbe. Déjà, les mathématiciens de la Grèce antique disposaient de deux définitions concurrentes de ce qu’est une courbe. Suivant l’une d’elles, une courbe était l’intersection de deux surfaces. Un cercle, par exemple, peut être vu comme l’intersection d’un cône de révolution avec un plan, où l’angle d’inclinaison du plan de coupe est droit. Selon l’autre conception, une courbe pouvait être décrite comme étant assimilable à la trajectoire d’un point qui se meut suivant une loi déterminée. Pour reprendre le même exemple, un cercle est le lieu des points par où passe une branche de compas effectuant une rotation complète. Le développement de la géométrie analytique puis celui du calcul différentiel et intégral, qui s’accéléra à partir du 17e siècle, rendit possible la formulation d’une définition alternative, plus précise, mais aussi plus contraignante. Le mot courbe en vint à désigner seulement le graphe d’une fonction continue ; des fonctions qu’il était possible, croyait-on, d’approcher localement (sauf possiblement en un certain nombre de points isolés exceptionnels) de manière assez fine par une fonction linéaire. Or, comme le souligne Gardner, la seconde moitié du 19e siècle fut ponctuée de découvertes par des mathématiciens de courbes monstrueuses qui n’avaient pas de tangentes uniques en un point quelconque. La définition de ce qu’est une courbe dut donc être à nouveau revue. |
| Déposant: | Morneau-Guérin, Frédéric |
| Responsable : | Frédéric Morneau-Guérin |
| Dépôt : | 25 mai 2026 13:41 |
| Dernière modification : | 25 mai 2026 13:41 |
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